问一个数学理论题的正确与否《几何原本》中的第五公理：两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小於两个直角,则两直线作延长时在此侧会相交.换句话说：同旁内角不互补,两直线不平

Question

问一个数学理论题的正确与否
《几何原本》中的第五公理：两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小於两个直角,则两直线作延长时在此侧会相交.换句话说：同旁内角不互补,两直线不平行.
但是第五公理不是被人否定了吗,那么说这几句话都是错的了——对顶角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
那我们还学它干什么

Answer 1

非欧几何的来源
非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲 ,他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义.所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何.
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见.
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用.也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题.
因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论.
由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?
到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子.他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理.他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设.我们知道,这其实就是数学中的反证法.
但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题.最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一,第五公设不能被证明.
第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论.这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学.
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何.这是第一个被提出的非欧几何学.
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学.
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时,匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在.鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待.他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事,劝他放弃这种研究.但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作.终于在1832年,在他的父亲的一本著作里,以附录的形式发表了研究结果.
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明,并且研究了非欧几何.但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害,不敢公开发表自己的研究成果,只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法,也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论.