求函数M=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．

Question

求函数M=xy+2yz在约束条件x²+y²+z²=10下的最大值和最小值．

Answer 1

构造拉格朗日函数
L（x，y，z，λ）=xy+2yz+λ（x²+y²+z²-10），
由

L′x ＝ y+2λx＝0

L′y ＝x+2z+2λy＝0

L′z ＝2y+2λz＝0 

 得 y²=5x²，z=2x．
 将其带入约束条件 x²+y²+z²=10 中可得，x²=1，
故所有可能的极值点为
（1，±√(5)，2），（-1，±√(5)，-2）．
因为
M（1，√(5)，2）=M（-1，-√(5)，-2）=5√(5)，
M（1，-√(作业帮用户2017-11-10问题解析求解函数在约束条件下的最值，先利用拉格朗日乘数法求条件极值，再求其最值．名师点评本题考点：条件极值的求解；利用拉格朗日乘数法求条件极值．考点点评：本题考察了利用拉格朗日乘数法求解条件极值的方法，是常考知识点，需要熟练掌握．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)