如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD交AB、CE于点D、E，BE和ED交于点P，连接AP．以下结论：①∠BPC=120°；②PD=PE；③S△PBD+S△PCE=S△PBC；④AD+AE=3AP．其中正确的

Question

如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD交AB、CE于点D、E，BE和ED交于点P，连接AP．以下结论：
①∠BPC=120°；②PD=PE；③S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC；④AD+AE=√(3)AP．
其中正确的序号是（　　）

A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=(1)/(2)（180°-∠BAC）=(1)/(2)（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，故①正确；
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD与△PGE中，
∵

∠DFP＝∠EGP＝90°

PF＝PG

∠DPF＝∠EPG

，
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
在Rt△BHP与Rt△BFP中，
∵

PF＝PH

BP＝BP

∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF①，CH=CE-GE②，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，
∴S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC，故③正确；
∵AP是∠BAC的平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠CAP=30°，
∴AD-DF=AF=(√(3))/(2)AP，AE+EG=(√(3))/(2)AP，
∵DF=EG，
∴AD+AE=√(3)AP，故④正确．
故选A．