如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45°，CD交AB于E，（1）求证：AD=CD；（2）求AE的长．

Question

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45°，CD交AB于E，

（1）求证：AD=CD；
（2）求AE的长．

Answer 1

（1）证明：过D点作DM⊥AB，DN⊥CB，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠CND=90°
∵D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，
∴DM=DN．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°．
∵∠ADC=45°，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AED=∠CEB，
∴∠1=∠2．
在△AMD和△CND中，

∠1=∠2

∠AMD=∠CND

DM=DN

，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD=CD；
（2）∵AD=CD，且∠ADC=45°，
∴∠ACD=∠DAC=67.5°，
∴∠1=22.5°．
∵∠AEC=∠1+∠ADC，
∴∠AEC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AC=4，
∴AE=4．
．答：AE=4．