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如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=10,分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE,延长FA、EB交于点G.(1)求证:△ADF∽△BAG;(2)若DF=4,请连接EF并求出EF的长.
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如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=10,分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE,延长FA、EB交于点G.
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(1)求证:△ADF∽△BAG;
(2)若DF=4,请连接EF并求出EF的长.
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(1)求证:△ADF∽△BAG;
(2)若DF=4,请连接EF并求出EF的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠DAB=90°,即∠DAF+∠BAG=90°,
又∵∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠BAG,
同理∠ECB=∠GBA,
∵△ADF≌△CBE,
∴∠ECB=∠DAF,
∴∠DAF=∠GBA,
∵在△ADF和△BAG中,
,
∴△ADF∽△BAG;
(2)连接EF,如图,
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∵在Rt△ADF中,AD=5,DF=4,∴AF=
=3,
∵△ADF∽△BAG,
∴
=
=
,∠AGB=∠AFD=90°,
∴AG=8,BG=6,
∴FG=AF+AG=11,EG=EB+BG=DF+BG=4+6=10,
∴在Rt△EFG中,EF=
=
.
∴∠DAB=90°,即∠DAF+∠BAG=90°,
又∵∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠BAG,
同理∠ECB=∠GBA,
∵△ADF≌△CBE,
∴∠ECB=∠DAF,
∴∠DAF=∠GBA,
∵在△ADF和△BAG中,
|
∴△ADF∽△BAG;
(2)连接EF,如图,
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∵在Rt△ADF中,AD=5,DF=4,∴AF=
AD2-DF2 |
∵△ADF∽△BAG,
∴
AD |
AB |
DF |
AG |
AF |
GB |
∴AG=8,BG=6,
∴FG=AF+AG=11,EG=EB+BG=DF+BG=4+6=10,
∴在Rt△EFG中,EF=
FG2+EG2 |
221 |
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