如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=10，分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE，延长FA、EB交于点G．（1）求证：△ADF∽△BAG；（2）若DF=4，请连接EF并求出EF的长．

Question

如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=10，分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE，延长FA、EB交于点G．

（1）求证：△ADF∽△BAG；
（2）若DF=4，请连接EF并求出EF的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，即∠DAF+∠BAG=90°，
又∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠BAG，
同理∠ECB=∠GBA，
∵△ADF≌△CBE，
∴∠ECB=∠DAF，
∴∠DAF=∠GBA，
∵在△ADF和△BAG中，

∠DAF=∠GBA

∠ADF=∠BAG

，
∴△ADF∽△BAG；
（2）连接EF，如图，

∵在Rt△ADF中，AD=5，DF=4，∴AF=√(AD2-DF2)=3，
∵△ADF∽△BAG，
∴(AD)/(AB)=(DF)/(AG)=(AF)/(GB)，∠AGB=∠AFD=90°，
∴AG=8，BG=6，
∴FG=AF+AG=11，EG=EB+BG=DF+BG=4+6=10，
∴在Rt△EFG中，EF=√(FG2+EG2)=√(221)．