如图，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜边OA2为直角边作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则A2A3=233233；Rt△A2010OA2011

Question

如图，已知A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以斜边OA₂为直角边作直角三角形，使得∠A₂OA₃=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则A₂A₃=

(2√(3))/(3)

(2√(3))/(3)

；Rt△A₂₀₁₀OA₂₀₁₁的最小边长为

（(2)/(√(3))）²⁰⁰⁹

（(2)/(√(3))）²⁰⁰⁹

．

Answer 1

在Rt△OA₁A₂中，A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，
∴OA₂=2A₁A₂=2，
在Rt△OA₂A₃中，OA₂=2，∠OA₂A₃=90°，∠A₂OA₃=30°，
∴A₂A₃=OA₂tan∠A₂OA₃=2×(√(3))/(3)=(2)/(√(3))=(2√(3))/(3)，OA₃=2A₂A₃=(4)/(√(3))，
在Rt△OA₃A₄中，OA₃=(4)/(√(3))，∠OA₃A₄=90°，∠A₃OA₄=30°，
∴A₃A₄=OA₃tan∠A₃OA₄=(4)/(√(3))×(√(3))/(3)=(4)/(3)=（(2)/(√(3))）²，
以此类推，Rt△A₂₀₁₀OA₂₀₁₁的最小边长A₂₀₁₀A₂₀₁₁=（(2)/(√(3))）²⁰⁰⁹．
故答案为：(2√(3))/(3)，（(2)/(√(3))）²⁰⁰⁹．