早教吧作业答案频道 -->数学-->
能证明1+1/2+1/3+...+1/n-lnn=C(n→正无穷)吗?
题目详情
能证明 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn =C(n→正无穷)吗?
▼优质解答
答案和解析
C是欧拉常数.
设Xn= 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)
上式令f(x)=lnx 由拉格朗日中值定理:f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x) (ξ∈(x,x+1))
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)=1/(n+1)-1/ξXn+1 (单调递减) (ξ∈(n,n+1))
由上述可知:ln(n+1)-lnn
设Xn= 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)
上式令f(x)=lnx 由拉格朗日中值定理:f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x) (ξ∈(x,x+1))
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)=1/(n+1)-1/ξXn+1 (单调递减) (ξ∈(n,n+1))
由上述可知:ln(n+1)-lnn
看了 能证明1+1/2+1/3+....的网友还看了以下: