如图,在RT三角形ABC中,CD是斜边AB上的高线,DE垂直AC于E,DE垂直BC于F,求证:BC3:AC3=BF:AE希望可以具体一点!

Question

如图,在RT三角形ABC中,CD是斜边AB上的高线,DE垂直AC于E,DE垂直BC于F,求证:BC3:AC3=BF:AE
希望可以具体一点!

Answer 1

三角形ACD和CBD相似
所以AD:CD=CD:BD
变形可得AD*BD=CD^2
同理AE*CE=DE^2,BF*CF=DF^2
所以BF=DF^2/CF,AE=DE^2/CE
BF/AE=(DF^2/CF)/(DE^2/CE)=(CE*DF^2)/(CF*DE^2)
在矩形CEDF中,CE=DF,CF=DE
所以BF/AE=(DF^3)/(DE^3)=(DF/DE)^3
又因为三角形ACD和CBD相似
所以AC:BC=DE:DF
DF/DE=BC/AC
(DF/DE)^3=(BC/AC)^3=(BC^3)/(AC^3)
即BC3:AC3=BF:AE