已知x,y,z,属于R+,证明(x+y+z)(1/X+1/Y+1/Z)≥9

Question

已知x,y,z,属于R+,证明(x+y+z)(1/X+1/Y+1/Z)≥9

Answer 1

证明：将不等式左边展开：(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1
=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)
∵ x、y、z属于R+
∴ x/y+y/x》2,x/z+z/x》2,y/z+z/y》2 当且仅当：x=y=z时,取等号.
∴ (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1
=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)》3+2+2+2=9
即：(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)》9