设k是给定的正整数,证明:任一正整数n必可以惟一表示为n=ab^k其中a,b,为正整数,以及不存在d>1,使得d^k|a

Question

设k是给定的正整数,证明:任一正整数n必可以惟一表示为n=ab^k
其中a,b,为正整数,以及不存在d>1,使得d^k|a

Answer 1

将n做质因数乘积分解,并按指数从大到小排列,假设
n=p1^r1 * p2^r2 * ...*pm^rm,
其中p1,p2,...,pm是不同的素数,而r1>=r2>=...>=rm是正整数,且可以等于1；（这样p1,p2,.,pm就不一定有大小顺序了）.
对给定的k,设r1=s1*k+t1,r2=s2*k+t2,...,rm=sm*k+tm,其中t1,t2,...,tm都大于等于0且小于k,那么令a1=p1^t1,b1=p1^s1,a2=p2^t2,b2=p2^s2,...,am=pm^tm,bm=pm^sm,
再令a=a1*a2*...*am,b=b1*b2*...*bm,就有
n=a*b^k,并且a,b,为正整数,且不存在d>1,使得d^k|a.