已知x^5-5qx+4r能被(x-c)^2整除,求证：q^5=r^4?

Question

已知x^5-5qx+4r能被(x-c)^2整除,求证：q^5=r^4?

Answer 1

(x-c)^2=x^2-2cx+c^2
首先要被整除肯定要乘x^3 那么得到 x^5-2cx^4+c^2x^3,因为多了-2cx^4+c^2x^3 所以再乘以2cx^2 得到2cx^4-4c^2x^3+2c^3x^2,则多了-3c^2x^3+2c^3x^2 那么就再乘以3c^2x得到3c^2x^3-6c^3x^2+3c^4x,现在多了-4c^3x^2,最后乘以4c^3得到4c^3x^2-8c^4x+4c^5 整理一下就是x^5+5c^4x+4c^5
现在得到x^5-5qx+4r=(x-c)^2(x^3+2cx^2+3c^2X+4c^3)=x^5+5c^4x+4c^5
5q=5c^4 q=c^4
4r=4c^5 r=c^5
r^4=c^20=q^5