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如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DC=4DF，试判断△BEF的形状，并证明你的结论．
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如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DC=4DF，试判断△BEF的形状，并证明你的结论．▼优质解答
答案和解析
△BEF是直角三角形．
设DF=x，则DC=AB=BC=4x，
∴AE=ED=2x，CF=4x-x=3x．
在Rt△EDF中，EF2=ED2+DF2=x2+（2x）2=5x2；
在Rt△AEB中，EB2=EA2+AB2=（2x）2+（4x）2=20x2；
在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2=（4x）2+（3x）2=25x2；
∴EF2+EB2=BF2，
∴△BEF是直角三角形．
设DF=x，则DC=AB=BC=4x，
∴AE=ED=2x，CF=4x-x=3x．
在Rt△EDF中，EF2=ED2+DF2=x2+（2x）2=5x2；
在Rt△AEB中，EB2=EA2+AB2=（2x）2+（4x）2=20x2；
在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2=（4x）2+（3x）2=25x2；
∴EF2+EB2=BF2，
∴△BEF是直角三角形．
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