设f(x)存在二阶导数,下列结论正确的是A若f(x)只有两个零点,则f'(x)必定只有一个零点B若f''(x)至少有一个零点,则f(x)必至少有三个零点C若f(x)没有零点,则f'(x)至多有一个零点D若f''(x)没有零点,则f(

Question

设f(x)存在二阶导数,下列结论正确的是
A若f(x)只有两个零点,则f'(x)必定只有一个零点
B若f''(x)至少有一个零点,则f(x)必至少有三个零点
C若f(x)没有零点,则f'(x)至多有一个零点
D若f''(x)没有零点,则f(x)至多有两个零点.
根据罗尓定理感觉BD都正确?此题正确选项为D

Answer 1

对于B,容易构造反例f(x)=x³,x∈(-∞,+∞)
x₀=0为f’’(x)的零点,但f(x)只有一个零点
若f(x)=x³+2,x∈(-1,+∞)
x₀=0为f’’(x)的零点,但f(x)没有零点
原因在于f’’(x)的零点与曲线f(x)的形状有关,即与其单调性(f’(x)),凹凸性(f’’(x))有关,与曲线f(x)相对于x轴的位置无关．
 
不妨讨论f’’(x)只有一个零点x₀的情况（至少有一个零点的情况类似）
1．若x=x₀为曲线的拐点,此时f(x)至多三个零点
考察三次曲线族f(x)=2*x³-9*x²+12*x+C,x∈(0,3),其中C为常数．x₀=3/2为拐点,有四种情形：
 

 
2．若x=x₀不是曲线的拐点,此时要看f(x)的单调性
①若f(x)是单调的,此时f(x)至多一个零点
考察四次曲线族f(x)=x⁴+4*x+C,x∈(-1,1),其中C为常数．x₀=0不是拐点,有两种情形：
 

 
②若f(x)不是单调的,此时f(x)至多两个零点
考察四次曲线族f(x)=x⁴+C,x∈(-∞,+∞),其中C为常数．x₀=0不是拐点,有三种情形：
 

 
综上,当f’’(x)只有一个零点x₀时,f(x)至多三个零点
因此,若f’’(x)有n(n≥1)个零点,则f(x)零点数不多于3*n个,最少是0个．
 
对于D,若f’’(x)没有零点,即f’’(x)不变号,恒有f’’(x)>0或f’’(x)<0,则f’(x)单调
不妨考察f’’(x)>0的情况（f’’(x)<0的情况类似）,f’(x)单调递增,分为两种情形：
1．若f’(x)不变号,即f’(x)恒正,此时f(x)单调递增,f(x)至多一个零点
2．若f’(x)变号,即f’(x)由负变为正,此时f(x)先减后增,f(x)至多两个零点
综上,若f’’(x)没有零点,f(x)至多两个零点