概率论的问题设ξ与η的密度函数为p（x,y）,求证ξ与η相互独立的充分必要条件为p（x,y）可分离变量,即p（x,y）=g（x).h(y).

Question

概率论的问题
设ξ与η的密度函数为p（x,y）,求证ξ与η相互独立的充分必要条件为p（x,y）可分离变量,即p（x,y）=g（x).h(y).

Answer 1

①若ξ与η相互独立,则p(x,y)=pξ(x)*pη(y),即p(x,y)可分离变量
②反之,若p(x,y)=g(x)*h(y),
令c=∫R g(x)dx,d=∫R h(y)dy
则pξ(x)=∫R p(x,y)dy
=∫R g(x)h(y)dy
=d*g(x)
pη(y)=∫R p(x,y)dx
=∫R g(x)h(y)dx
=c*h(y)
由1=∫R pξ(x) dx可知c*d=1
故p(x,y)=pξ(x)*pη(y),即ξ与η相互独立!