一道高数题设f(x)=x^n+x^(n-1)+……+x^2+x.求证（1）对任意n>1,方程fn(x)=1在（1/2,1）内只有一个实根.（2）设Xn∈（1/2,1）是fn(x)=1的根,则lim(n→∞)Xn=1/2

Question

一道高数题
设f(x)=x^n+ x^(n-1)+……+x^2+x.求证（1）对任意n>1,方程fn(x)=1在（1/2,1）内只有一个实根.（2）设Xn∈（1/2,1）是fn(x)=1的根,则lim(n→∞) Xn=1/2

Answer 1

1 求导,知当f(x)－1在x>0 上是增函数,所以f(x)－1＝0在x>0上最多一根.
又易知f(x)－1在x>0上连续,f(1/2)－1=1/2+(1/2)^2+...(1/2)^(n-1)-1=
1－（1/2)^n-10,由零点定理,知其在（1/2,1)上有且只有一个根.
2 fn(xn)-1＝0,所以xn^n+xn^n-1+...xn=(xn-xn^(n+1))/(1-xn)=1
n→∞,xn^(n+1)→0,所以上式等价于xn/(1-xn)=1 ,xn=1/2（n→∞)