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求连续性和可导性题目设f(X)=Ln(1+X)-1
题目详情
求连续性和可导性题目
设f(X)= Ln(1+X) -1
设f(X)= Ln(1+X) -1
▼优质解答
答案和解析
连续又可导,根据性质可知,可导必然连续,连续不一定可导.
首先我们看他们是否连续,就是X=0处的左极限是否等于右极限.
左极限:f(X)= Ln(1+X) 在x=0处的极限为:0
右极限:(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根在x=0处的极限为:0
所以f(X)在X=0处连续
根据函数在一点处可导的定义式求
定义式:f'(X0)=[f(X)-f(X0)]/(X-X0)趋近于X0时的极限值.
根据这个计算得:
[Ln(1+X)-Ln(1+0)]/(X-0)趋近于0时的极限值(根据洛必达法则)为1
同样对(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根求得:(也是根据洛必达法则)
趋近于0时的极限值为1
所以f(X)在X=0处可导
所以f(X)在X=0处连续且可导
首先我们看他们是否连续,就是X=0处的左极限是否等于右极限.
左极限:f(X)= Ln(1+X) 在x=0处的极限为:0
右极限:(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根在x=0处的极限为:0
所以f(X)在X=0处连续
根据函数在一点处可导的定义式求
定义式:f'(X0)=[f(X)-f(X0)]/(X-X0)趋近于X0时的极限值.
根据这个计算得:
[Ln(1+X)-Ln(1+0)]/(X-0)趋近于0时的极限值(根据洛必达法则)为1
同样对(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根求得:(也是根据洛必达法则)
趋近于0时的极限值为1
所以f(X)在X=0处可导
所以f(X)在X=0处连续且可导
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