求连续性和可导性题目设f(X)=Ln(1+X)-1

Question

求连续性和可导性题目
设f(X)= Ln(1+X) -1

Answer 1

连续又可导,根据性质可知,可导必然连续,连续不一定可导.
首先我们看他们是否连续,就是X=0处的左极限是否等于右极限.
左极限：f(X)= Ln(1+X) 在x=0处的极限为：0
右极限：(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根在x=0处的极限为：0
所以f(X)在X=0处连续
根据函数在一点处可导的定义式求
定义式：f'(X0)=[f(X)-f(X0)]/（X-X0）趋近于X0时的极限值.
根据这个计算得：
[Ln(1+X)-Ln(1+0)]/（X-0）趋近于0时的极限值（根据洛必达法则）为1
同样对(1+X)的1/2方根-(1-X)的1/2方根求得：（也是根据洛必达法则）
趋近于0时的极限值为1
所以f(X)在X=0处可导
所以f(X)在X=0处连续且可导