关于三次函数图像的探索题,会追分在做研究型课题,这道题难道我了.对于形如y=(x+a)(x+b)(x+c)的三次函数图像（先认为有三个实数根）进行如下操作：1.找到绝对值最小的根与绝对值中间的根的

Question

关于三次函数图像的探索题,会追分
在做研究型课题,这道题难道我了.
对于形如y=(x+a)(x+b)(x+c)的三次函数图像（先认为有三个实数根）进行如下操作：
1.找到绝对值最小的根与绝对值中间的根的中点
2.过这个中点作垂线,交函数图像于a点
3.作过A点的切线,发现切线经过过绝对值最大的根
后面经过多次实验,发现规律是：找绝对值最小的根（或者绝对值最大的根）与绝对值中间的根的中点,过中点作垂线,过垂线作切线,切线必经过第三个根（之前没用到的那个根）.
请对此给出一个猜想?
并使用y=(x-a)(x-b)(x-c)证明这个猜想,a

Answer 1

y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)={[x-(a+b)/2]^2-[(a-b)/2]^2}(x-c)
y'=f'(x)=[x-(a+b)/2]^2-[(a-b)/2]^2+2*[x-(a+b)/2](x-c)
对于函数上一点的切线方程为
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
其中当x0取两根的平均数,即
x0=(a+b)/2
所以,
f(x0)={-[(a-b)/2]^2}(x0-c)
f'(x)=-[(a-b)/2]^2
切线方程为
y-{-[(a-b)/2]^2}(x0-c)=-[(a-b)/2]^2(x-x0)
即有
y=-[(a-b)/2]^2(x-x0)+{-[(a-b)/2]^2}(x0-c)
=-[(a-b)/2]^2(x-x0+x0-c)
=-[(a-b)/2]^2(x-c)
显然切线与x轴交于点(c,0)对任意a,b恒成立.
可知,对任意有三个实根的三次函数,均满足这种情况.