在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点．（I）求证：平面ACC1A1⊥平面BCC1B；（II）求直线DA1与平面BCC1B1所成角的大小；（III）求二面角A-DC1-C的大小．

Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点．
（I）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；
（II）求直线DA₁与平面BCC₁B₁所成角的大小；
（III）求二面角A-DC₁-C的大小．

Answer 1

（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC=√(3)，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴CC₁⊥AC．
∵BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
∵AC⊂平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B．
（II）∵A₁C₁∥AC，∴由（I）知，A₁C₁⊥平面BCC₁B，∴∠A₁DC₁为直线DA1与平面BCC₁B₁所成的角．
在Rt△DA₁C₁中，DC₁=√(CC12+CD2)=√(1+(3)/(4))=(√(7))/(2)
tan∠A₁DC₁=(A1C1)/(DC1)=(2√(7))/(7)
故直线DA₁与平面BCC₁B₁所成角为arctan(2√(7))/(7)
（III）过C作CH⊥DC₁，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC₁⊥AH，从而∠AHC为二面角A-DC₁-C的平面角．
在Rt△CDC₁中