在三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小(2)若sinB+sinC=1,试判断三角型ABC的形状～

Question

在三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小(2)若sinB+sinC=1,试判断三角型ABC的形状～

Answer 1

1.∠A＝120°
由正弦定理,得：
sinA＝a/(2R),sinB＝b/(2R),sinC＝c/(2R)
(其中,R是三角形外接圆半径)
代入2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC,得：
2a^2/(2R)＝(2b＋c)·b/(2R)＋(2c＋b)·c/(2R)
化简,得：a^2＝b^2＋c^2＋bc
由余弦定理,得：
cosA＝(b^2＋c^2－a^2)/(2bc)＝(-bc)/(2bc)＝-1/2
∴∠A＝120°
2.等腰三角形
∵∠A＝120°
∴∠B＋∠C＝180°－∠A＝60°
∴sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－∠B)
＝sinB＋sin60°·cosB－cos60°·sinB
＝sinB＋sin60°·cosB－sinB/2
＝sin60°·cosB＋sinB/2
＝sin60°·cosB＋cos60°·sinB
＝sin(60°＋∠B)
＝1
＝sin90°
∴60°＋∠B＝90°,即∠B＝30°
∴∠C＝60°－∠B＝30°＝∠B