在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量x=（2a+c，b），y=（cosB，cosC），且x•y=0．（1）求∠B的大小；（2）若b=3，求a+c的最大值．

Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量

x

=（2a+c，b），

y

=（cosB，cosC），且

x

•

y

=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=√(3)，求a+c的最大值．

Answer 1

（1）∵

x

=（2a+c，b），

y

=（cosB，cosC），

x

•

y

=0，
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
利用正弦定理化简得：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵A与B都为三角形的内角，∴sinA≠0，cosB=-(1)/(2)，
则B=(2π)/(3)；
（2）∵b=√(3)，cosB=-(1)/(2)，
∴由余弦定理得：3=a²+c²-2ac×（-(1)/(2)）=（a+c）²-ac，
∴（a+c）²=3+ac≤3+（(a+c)/(2)）²，
∴（a+c）²≤4，即a+c≤2，
则当且仅当a=c时，a+c的最大值为2．