如图,已知三角形ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC,交BC于点D,BF⊥AE,垂足为E求证BE=二分之一(AC-AB).

Question

如图,已知三角形ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC,交BC于点D,BF⊥AE,垂足为E 求证BE=二分之一(AC-AB).

Answer 1

延长BE交AC于点F,则BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF
∵AD平分∠BAC
∴∠BAE=∠FAE
在△ABE和△AFE中
∠AEB=∠AEF
AE=AE
∠BAE=∠FAE
∴△ABE≌△AFE
∴BE=EF,∠ABF=∠AFB,AB=AF
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,
∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C
∴∠C+2∠CBF=3∠C
∴∠CBF=∠C
∴BF=CF
∴BE=1/2BF=1/2CF
∵CF=AC-AF=AC-AB
∴BE=1/2（AC-AB）.