如图所示，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若AB＝BF，求证：MN⊥CF．

Question

如图所示，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若AB＝BF，求证：MN⊥CF．

Answer 1

　　证明：如图，连结BD．

　　在矩形ABCD和矩形BFDE中，∵AB＝DC，BF＝DE(矩形的对边相等)．

　　又∵AB＝BF，∴AB＝BF＝DE＝DC(等量代换)．

　　在△ABM和△EDM中，

　　∠A＝∠E＝(矩形的四个角都是直角)，

　　∠AMB＝∠EMD(对顶角相等)，

　　∵AB＝DE(已证)，∴△AMB≌△EMD(AAS)，

　　∴BM＝MD(全等三角形对应边相等)，

　　∵BE∥DF，AD∥BC(矩形对边平行)，

　　∴四边形BMDN是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)，

　　∴MN⊥BD(菱形对角线互相垂直)，

　　BN＝DN(菱形的四条边相等)．

　　∴∠1＝∠2(等边对等角)．

　　同理可证△BNF≌△DNC，

　　∴NF＝NC(全等三角形对应边相等)，

　　∴∠3＝∠4(等边对等角)，

　　∴∠1＝∠4(三角形内角是)，

　　∴BD∥CF(内错角相等，两直线平行)．

　　又∵MN⊥BD，

　　故MN⊥CF(垂直于两条平行线中的一条必垂直于另一条)．

　　解析：由题目的已知条件易证△AMB≌△EMD，故BM＝MD．

　　所以四边形BMDN是菱形，连结BD，根据菱形的性质BD⊥MN，同理可证△BNF≌△DNC，则NF＝NC，NB＝ND．

　　所以∠NBD＝∠NDB＝∠NFC＝∠NCF，则CF∥BD，

　　故MN⊥CF．

　　说明：证垂直问题可应用菱形两对角线互相垂直的性质，这也是证明垂直的一种方法．