如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．（1）求证：△ADG∽△ABC；（2）设DE=xmm，矩形D

Question

如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．

（1）求证：△ADG∽△ABC；
（2）设DE=xmm，矩形DEFG的面积为ymm²，写出y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值．

Answer 1

（1）由于四边形DEFG是矩形，所以DG∥EF，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
（2）由△ADG∽△ABC得(DG)/(BC)=(AR)/(AH)，
∴(DG)/(80)=(AR)/(40)=(40−x)/(40)，
∴DG=2（40-x）
则矩形面积y=x•2（40-x）=-2x²+80x=-2（x-20）²+800
整理得y=-（x-20）²+800．
（3）当-（x-20）²=0时．y的值最大．
解得x=20，即当x=20时，y的值最大，最大值为800．
答：（2）y与x的函数关系式为：y=-（x-20）²+800．
（3）当x=20mm时，y的值最大，最大值为800mm²，．