如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S△BFG=5，CD=4，求CG．

Question

如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S_△BFG=5，CD=4，求CG．

Answer 1

（1）证明：∵F为BE中点，AF=BF，
∴AF=BF=EF，
∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，
在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠BAF+∠FAE=90°，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；


（2）连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵F为BE的中点，FG⊥BE，
∴BG=GE，
∵S_△BFG=5，CD=4，
∴S_△BGE=10=(1)/(2)BG•EH，
∴BG=GE=5，
在Rt△EGH中，GH=√(GE2−EH2)=3，
在Rt△BEH中，BE=√(BH2+GH2)=4√(5)=BC，
∴CG=BC-BG=4√(5)-5．