在平行四边形ABCD中,AE垂直BC,AN垂直CD,垂足为E,N,且AE=BE,AN,BD交于O,∠ADB=15°,下列结论：（1）∠FAO=45°（2）AN=根号2AE(3)DF=2根号2AE(4)BD=2AN

Question

在平行四边形ABCD中,AE垂直BC,AN垂直CD,垂足为E,N,且AE=BE,AN,BD交于O,∠ADB=15°,
下列结论：（1）∠FAO=45°（2）AN=根号2AE(3)DF=2根号2AE(4)BD=2AN

Answer 1

（1）若 F 是AE和BD的交点, 则 ∠FAO=45°
证明：在△ABE中,因为AE=BE,∠AEB=90度
所以 ∠ABE=∠BAE=45度
因为 △ADN 相似 △ABE
所以 ∠DAN=45度
所以 ∠BAD=180-45=135度
所以 ∠FAO=135-45-45=45度
（2）AN=√2*AE 不成立
因为 △ADN 相似 △ABE
所以 AE/AN=AB/AD
因为 ∠ADB=15度
所以 ∠ABD=30度
过A做AP⊥BD, P为垂足
于是 有 AB=2AP
在△ADP 中,Sin(∠ADB)=AP/AD=AB/(2*AD)
即 AE/AN=AB/AD=2*Sin (15度) ≠ 1/√2
即 AN≠√2*AE
（3）DF=2√2*AE
因为 △DAF 相似 △BEF
所以 BE/AD=EF/AF
因为 BE=√2/2*AB,AB/AD=2*Sin (15度)
所以 BE/AD=√2/2*(AB/AD)= √2*Sin(15度)
设 k=√2*Sin(15度)
则 EF=k*AF
AE=AF+EF=(k+1)*AF
在 △ADF中,∠DAF=90度,∠ADB=15度
所以 AE/DF=(k+1)*AF/DF=(k+1)*Sin(15度)
AE/DF= (√2*Sin(15度)+1)*Sin(15度)
= √2*Sin^2(15)+Sin(15)
因为 Sin15=Sin（45-30）=Sin45*Cos30-Cos45*Sin30=√2/2*(√3/2-1/2)
Sin15= √2*(√3-1)/4
所以 AE/DF=√2/4 ,
即DF=2*√2*AE
（4）BD=2AN
因为 ∠ODN=30度,∠OND=90度
△DON 相似 △BOA
所以 BO=2*AO,DO=2*ON
所以 BD=BO+DO=2*(AO+ON)=2*AN