如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明；（3）求AD：AC的值．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

（1）写出图中一对全等角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明；
（3）求AD：AC的值．

Answer 1

（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=(1)/(2)（180°-∠A）=(1)/(2)（180°-36°）=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠CBD=∠ABD=(1)/(2)∠ABC=36°，
∴∠CBD=∠A，
而∠BCD=∠ACB，
∴△ABC∽△BCD；
（3）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∵△ABC∽△BCD，
∴(AC)/(BC)=(BC)/(CD)，
即AC•（AC-AD）=AD²，
整理得AD²+AC•AD-AC²=0，
解得AD=(-1+√(5))/(2)AC或AD=(-1-√(5))/(2)AC（舍去），
∴AD：AC的值为(√(5)-1)/(2)．