在三角形abc中角bac=5.25度AD是角BAC的平分线过A作DA的垂线交直线BC于点M若BMBA+AC试求角ABC和角ACB的度数

Question

在三角形abc中角bac=5.25度AD是角BAC的平分线过A作DA的垂线交直线BC于点M若BM
BA+AC试求角ABC和角ACB的度数

Answer 1

分两种情况讨论计算：
（1）当过A作AD的垂线交BC延长于点M时,延长BA到C,使AC′=AC,连接C′M（如图）,则BM=AB+AC=AB+AC′=BC′
∴∠C′=∠C′MB,
已知AD平分∠BAC,AM⊥AD,
∴AM平分∠CAC′,
∴△ACM≌△AC′M（AAS）,
∴∠AC′M=∠ACM=∠C′MB,
在△BC′M中,∠B+∠C′+∠C′MB=180°,
∴∠B+∠ACM+∠ACM=180°,
∴∠B+2（∠BAC+∠B）=180°,解得∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=115°；
（2）当过A作AD的垂线交CB延长线于点M时,
延长BA到C′,使AC′=AC,连接CC′,C′M（如图）,
则BM=AB+AC=AB+AC′=BC′,
∴∠MC′A=∠MBA,
∵∠MAD=90°,∴∠MAC=90°+ ∠BAC/2=97.5°,
又∵∠C′AC=180°-∠BAC=165°,
∴∠C′AM=360°-∠CAC′-∠MAC=97.5°=∠CAM,
∵AM=AM,
∴△AC′M≌△ACM（SAS）,
∴∠AC′M=∠ACB,
在△MC′C中,∠C′MB+∠MCC′+∠MCC′=180°,
∴∠MC′A+∠MCA+∠ACC′+∠MC′A+∠AC′C=180°,
∴3∠ACM+∠CAB=180°,
∴∠ACB= 1/3（180°-15°）=55°,
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=110°,
综上得∠ABC=50°,∠ACB=115°或∠ABC=110°,∠ACB=55°．