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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为菱形,E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点,且SE⊥平面ABCD.(1)求证:PQ∥平面SAD;(2)求证:平面SAC⊥平面SEQ.
题目详情
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为菱形,E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点,且SE⊥平面ABCD.
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(1)求证:PQ∥平面SAD;
(2)求证:平面SAC⊥平面SEQ.
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(1)求证:PQ∥平面SAD;
(2)求证:平面SAC⊥平面SEQ.
▼优质解答
答案和解析
证明:
(1)取SD中点F,连结AF,PF.
因为 P,F分别是棱SC,SD的中点,
所以 FP∥CD,且FP=
CD.
又因为菱形ABCD中,Q是AB的中点,
所以 AQ∥CD,且AQ=
CD.
所以 FP∥AQ且FP=AQ.
所以 AQPF为平行四边形.
所以 PQ∥AF.
又因为 PQ⊄平面SAD,
AF⊂平面SAD,
所以 PQ∥平面SAD;
(2)连结BD,
因为△SAD中SA=SD,点E棱AD的中点,
所以 SE⊥AD,
又 平面SAD⊥平面ABCD,
平面SAD∩平面ABCD=AD,
SE⊂平面SAD,
所以 SE⊥平面ABCD,
所以SE⊥AC.
因为 底面ABCD为菱形,
E,Q分别是棱AD,AB的中点,
所以 BD⊥AC,EQ∥BD.
所以 EQ⊥AC,
因为 SE∩EQ=E,
所以 AC⊥平面SEQ.
因为AC⊂平面SAC,所以平面SAC⊥平面SEQ.
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因为 P,F分别是棱SC,SD的中点,
所以 FP∥CD,且FP=
1 |
2 |
又因为菱形ABCD中,Q是AB的中点,
所以 AQ∥CD,且AQ=
1 |
2 |
所以 FP∥AQ且FP=AQ.
所以 AQPF为平行四边形.
所以 PQ∥AF.
又因为 PQ⊄平面SAD,
AF⊂平面SAD,
所以 PQ∥平面SAD;
(2)连结BD,
因为△SAD中SA=SD,点E棱AD的中点,
所以 SE⊥AD,
又 平面SAD⊥平面ABCD,
平面SAD∩平面ABCD=AD,
SE⊂平面SAD,
所以 SE⊥平面ABCD,
所以SE⊥AC.
因为 底面ABCD为菱形,
E,Q分别是棱AD,AB的中点,
所以 BD⊥AC,EQ∥BD.
所以 EQ⊥AC,
因为 SE∩EQ=E,
所以 AC⊥平面SEQ.
因为AC⊂平面SAC,所以平面SAC⊥平面SEQ.
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