如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．

Question

如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．
（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；
（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；
（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．

Answer 1

（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PAM=∠PAN，
∴PM=PN，
∵PE=PF，
∴Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴∠MPF=∠NPE，
∴∠EPF=∠MPF，
∵∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°．

（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，
∵∠BAD=120°，
∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，
∴AE+AF=PA．

（3）结论：AF+AE=PA•cos(θ)/(2)．
理由：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．
由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，
∵∠BAD=θ，
∴∠PAM=(θ)/(2)，易知AM=PA•cos(θ)/(2)，
∴AF+AE=PA•cos(θ)/(2)．