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如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E,垂足为O.(1)求证:四边形AFCE为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AFCE的面积.
题目详情
如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E,垂足为O.
(1)求证:四边形AFCE为菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形AFCE的面积.
(1)求证:四边形AFCE为菱形;
(2)若AB=4,BC=8,求菱形AFCE的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FOC,AOE=∠COF,
∴在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为菱形;(6分)
(2)设AF=x,
∵AB=4,BC=8,∴BF=8-x,
∴AF2=AB2+BF2,
∴x2=42+(8-x)2,
∴x=5,
∴S菱形AFCE=FC•AB=5×4=20,
∴菱形面积为20.(2分)
∴OA=OC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FOC,AOE=∠COF,
∴在△AOE和△COF中,
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∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为菱形;(6分)
(2)设AF=x,
∵AB=4,BC=8,∴BF=8-x,
∴AF2=AB2+BF2,
∴x2=42+(8-x)2,
∴x=5,
∴S菱形AFCE=FC•AB=5×4=20,
∴菱形面积为20.(2分)
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