如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为A．1B．C．2D．＋1

Question

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【   】

　 

A．1

B．

C．2

D． ＋1

Answer 1

B。

分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P ₁ ，连接P ₁ Q，交BD于点K ₁ 。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P ₁ K ₁ =" P" K ₁ ，P ₁ K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P ₁ K＋QK＞P ₁ Q= P ₁ K ₁ ＋Q K ₁ =" P" K ₁ ＋Q K ₁ 。
∴此时的K ₁ 就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P ₁ 在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P ₁ 总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P ₁ Q⊥AB时P ₁ Q最短。
过点A作AQ ₁ ⊥DC于点Q ₁ 。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q ₁ =30°。
又∵AD=AB=2，∴P ₁ Q=AQ ₁ =AD·cos300= 。
综上所述，PK+QK的最小值为 。故选B。