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如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别是边AB,AD上的点,且满足∠BCE=∠DCF,连结EF.(1)若AF=1,求EF的长;(2)取CE的中点M,连结BM,FM,BF.求证:BM⊥FM.
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如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别是边AB,AD上的点,且满足∠BCE=∠DCF,连结EF.
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(1)若AF=1,求EF的长;
(2)取CE的中点M,连结BM,FM,BF.求证:BM⊥FM.
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(1)若AF=1,求EF的长;
(2)取CE的中点M,连结BM,FM,BF.求证:BM⊥FM.
▼优质解答
答案和解析
(1) ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=BC=DC,∠D=∠CBE,
又∵∠BCE=∠DCF,
在△CBE与△CDF中,
,
∴△CBE≌△CDF,
∴BE=DF.
又∵AB=AD,
∴AB-BE=AD-DF,即AE=AF,
又∵∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴EF=AF,
∵AF=1,
∴EF=1.
(2)证明:如图1,延长BM交DC于点N,连结FN,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_ed7c6cbf93493774310c6e1234506a3d.jpg)
∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AB,
∴∠NCM=∠BEM,∠CNM=∠EBM
∵点M是CE的中点,
∴CM=EM.
在△CMN与△EMB中,
,
∴△CMN≌△EMB,
∴NM=MB,CN=BE.
又∵AB=DC.
∴DC-CN=AB-BE,即DN=AE.
∵△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°,EF=AE.
∴∠BEF=120°,EF=DN.
∵DC∥AB,
∴∠A+∠D=180°,
又∵∠A=60°,
∴∠D=120°,
∴∠D=∠BEF.
在△FDN与△BEF中,
,
∴△FDN≌△BEF,
∴FN=FB,
又∵NM=MB,
∴BM⊥MF
∴AB=AD=BC=DC,∠D=∠CBE,
又∵∠BCE=∠DCF,
在△CBE与△CDF中,
|
∴△CBE≌△CDF,
∴BE=DF.
又∵AB=AD,
∴AB-BE=AD-DF,即AE=AF,
又∵∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴EF=AF,
∵AF=1,
∴EF=1.
(2)证明:如图1,延长BM交DC于点N,连结FN,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_ed7c6cbf93493774310c6e1234506a3d.jpg)
∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AB,
∴∠NCM=∠BEM,∠CNM=∠EBM
∵点M是CE的中点,
∴CM=EM.
在△CMN与△EMB中,
|
∴△CMN≌△EMB,
∴NM=MB,CN=BE.
又∵AB=DC.
∴DC-CN=AB-BE,即DN=AE.
∵△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°,EF=AE.
∴∠BEF=120°,EF=DN.
∵DC∥AB,
∴∠A+∠D=180°,
又∵∠A=60°,
∴∠D=120°,
∴∠D=∠BEF.
在△FDN与△BEF中,
|
∴△FDN≌△BEF,
∴FN=FB,
又∵NM=MB,
∴BM⊥MF
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