如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．

Question

如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．

Answer 1

四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴DC⊥CB，
又∵DE⊥AB于E，且∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
在△CBD与△EBD中，

∠BCD=∠BED=90°

∠CBD=∠EBD(角平分线的性质)

BD=BD(公共边相等)

∴△CBD≌△EBD
∴∠CDF=∠EDF
又在△CDF与△EDF中，

CD=DE

∠CDF=∠EDF

FD=FD

∴△CDF≌△EDF
∴∠FCD=∠FED
又CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，
∴CF∥DE，∠HFE=∠FED，
∴∠HFE=∠FCD
∴EF∥CD
∴四边形CDEF是平行四边形，
又CD=DE
∴四边形CDEF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）