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对于一个四边形给出如下定义:有一组对角相等且有一组邻边相等,则称这个四边形为奇特四边形.(1)判断命题“另一组邻边也相等的四边形为正方形”是真命题还是假命题?(2)如图
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对于一个四边形给出如下定义:有一组对角相等且有一组邻边相等,则称这个四边形为奇特四边形.
(1)判断命题“另一组邻边也相等的四边形为正方形”是真命题还是假命题?
(2)如图,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,F是AD延长线一点,BE=DF,连接EF,取EF的中点G,连接CG并延长交AD于点H,探究:四边形BCGE是否是奇特四边形,如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若四边形BCGE的面积是16,设BC=x,BE=y,
①求x+y的值;
②求当x+xy取最大值时FH的长.
(1)判断命题“另一组邻边也相等的四边形为正方形”是真命题还是假命题?
(2)如图,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,F是AD延长线一点,BE=DF,连接EF,取EF的中点G,连接CG并延长交AD于点H,探究:四边形BCGE是否是奇特四边形,如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若四边形BCGE的面积是16,设BC=x,BE=y,
①求x+y的值;
②求当x+xy取最大值时FH的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)假命题,如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,又DC=DB,明显四边形ABDC不是正方形.
(2)连接CE,CF∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠EBC=∠FDC=90°,
在△EBC和△FDC中,
∴△CBE≌△CDF(SAS)
∴CE=CF,∠BCE=∠DCE
∴∠ECF=90°,
∵G是EF的中点,
∴GE=GC,∠EGC=90°,
∵GE=GC,∠EGC=∠B=90°
∴四边形BCGE是奇特四边形;
(3)①过点G作MN∥AB,GQ∥AD,
∴△GQE≌△GMC(AAS)
∴GQ=GM,
∴四边形BMGQ是正方形,S四边形BCGE=S正方形BMGQ,
∵四边形BCGE的面积是16,
∴S正方形BMGQ=16
∴GQ=GM=AN=4,
∵G是EF的中点,
∴AN=FN=4,
∴AF=8
∵BE=DF,BC=AD,
∴BE+BC=AF=8
∵BC=x,BE=y
∴x+y=8;
②由①知y=8-x,
∴x+xy=x+x(8-x)=-x2+9x=-(x-
)2+
,
∴x+xy取最大值时,x=BC=4.5,y=BE=3.5
∴CE=CF=
=
,
∴FG=
∵Rt△FGH∽Rt△FNG
∴FG2=FN•FH
∵FN=4,FG=
,
∴FH=
.
(2)连接CE,CF∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠EBC=∠FDC=90°,
在△EBC和△FDC中,
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∴△CBE≌△CDF(SAS)
∴CE=CF,∠BCE=∠DCE
∴∠ECF=90°,
∵G是EF的中点,
∴GE=GC,∠EGC=90°,
∵GE=GC,∠EGC=∠B=90°
∴四边形BCGE是奇特四边形;
(3)①过点G作MN∥AB,GQ∥AD,
∴△GQE≌△GMC(AAS)
∴GQ=GM,
∴四边形BMGQ是正方形,S四边形BCGE=S正方形BMGQ,
∵四边形BCGE的面积是16,
∴S正方形BMGQ=16
∴GQ=GM=AN=4,
∵G是EF的中点,
∴AN=FN=4,
∴AF=8
∵BE=DF,BC=AD,
∴BE+BC=AF=8
∵BC=x,BE=y
∴x+y=8;
②由①知y=8-x,
∴x+xy=x+x(8-x)=-x2+9x=-(x-
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∴x+xy取最大值时,x=BC=4.5,y=BE=3.5
∴CE=CF=
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∴FG=
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∵Rt△FGH∽Rt△FNG
∴FG2=FN•FH
∵FN=4,FG=
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