在等腰梯形ABCD中,设上底CD=40,腰AD=40,问AB多长时,梯形的面积最大?（用导数方法求解）

Question

在等腰梯形ABCD中,设上底CD=40,腰AD=40,问AB多长时,梯形的面积最大?（用导数方法求解）

Answer 1

设上底AB=x,高H=√[40^2-(x-40)^2/4]=1/2√[80^2-(x-40)^2]=1/2*M,(M^2=80^2-(x-40)^2),
则梯形的面积y=(x+40)*H/2=(x+40)*1/2M*1/2=1/4(x+40)*M
由x>40及80^2-(x-40)^2>0解得x在开区间（40,120）内取值
求导,y'=1/4*M+1/4(x+40)*[-2(x-40)]/(2M)
=1/4[M^2-(x^2-40^2)]/M
= -(x^2-40x-3200)/(2M)
令y'=0,解得x=80,x= -40(舍去）
显然,当40