如图，四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC．若CD=3，BD=26，sin∠DBC=33．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD≌△BAD；（3）求对角线AC的长．

Question

如图，四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC．若CD=3，BD=2√(6)，sin∠DBC=(√(3))/(3)．

（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD≌△BAD；
（3）求对角线AC的长．

Answer 1

（1）如图，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
则∠E=90°，
∵sin∠DBC=(√(3))/(3)，BD=2√(6)，
∴DE=2√(2)，
∵CD=3，
∴CE=1，BE=4，
∴BC=3，

（2）∵BC=3，CD=3
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，
∵BD=BD，
∴△BCD≌△BAD；

（3）由（2）知，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
同理AD∥BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC交BD于O，
则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√(6)，
∴OC=√(BC2-BO2)=√(3)，
∴AC=2√(3)．