已知sinθ=asinΨ,tanθ=btanΨ,其中θ为锐角,求证：cosθ=根号下（a的平方-1/b的平方-1）.

Question

已知sinθ=asinΨ,tanθ=btanΨ,其中θ为锐角,求证：cosθ=根号下（a的平方-1/b的平方-1）.

Answer 1

相当于 关于 θ 和 Ψ 的二元方程.
想办法 消Ψ
两个式子都做平方运算
(sinθ)^2 = a^2 (sinΨ)^2
(tanθ)^2 = b^2 (tanΨ)^2
得到的两个式子做商运算
(cosθ)^2 = (a^2/b^2)* (cosΨ)^2
b^2 (cosθ)^2 = a^2 (cosΨ)^2
这个式子与前面的(sinθ)^2 = a^2 (sinΨ)^2 相加
b^2 (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = a^2*[(sinΨ)^2 + (cosΨ)^2]
b^2 (cosθ)^2 + 1 - (cosθ)^2 = a^2
(b^2 -1) (cosθ)^2 = a^2 -1
θ为锐角,所以
cosθ = 根号下[(a^2 -1)/(b^2-1)]
^2 表示平方