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如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作任意角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,(1)设α=105°,β=75°,求OA•OB;(2)试证明两角差的余弦公式C(α-β);cos(
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如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作任意角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,
(1)设α=105°,β=75°,求
•
;
(2)试证明两角差的余弦公式C(α-β);cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
(1)设α=105°,β=75°,求
OA |
OB |
(2)试证明两角差的余弦公式C(α-β);cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
▼优质解答
答案和解析
(1)在平面直角坐标系中,以原点为圆心,作一单位圆,
再以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角α=105°,β=75°.
设它们的终边分别交单位圆于点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),
•
=cos105°cos75°+sin105°sin75°
=cos(105°-75°)=cos30°=
.
(2)如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心,作一单位圆,再以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角α,β.
设它们的终边分别交单位圆于点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),…(4分)
即有两单位向量
,
,
它们的所成角是|α-β|,
根据向量数量积的性质得:
•
=cos(α-β)=cos|α-β|①
又根据向量数量积的坐标运算得:
再以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角α=105°,β=75°.
设它们的终边分别交单位圆于点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),
OA |
OB |
=cos(105°-75°)=cos30°=
| ||
2 |
(2)如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心,作一单位圆,再以原点为顶点,x轴非负半轴为始边分别作角α,β.
设它们的终边分别交单位圆于点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),…(4分)
即有两单位向量
OA |
OB |
它们的所成角是|α-β|,
根据向量数量积的性质得:
OA |
OB |
又根据向量数量积的坐标运算得:
OA |
OB |
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 任意角的三角函数的定义.
-
- 考点点评:
- 本题考查平面向量的综合应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,利用三角函数的性质合理地进行等价转化.
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