帮我证明这个图的题吧证明在任何有向完全图中,所有顶点入度的平方之和等于所有顶点出度的平方之和.（这里,有向完全图是指以无向完全图为底图的有向图）.

Question

帮我证明这个图的题吧
证明在任何有向完全图中,所有顶点入度的
平方之和等于所有顶点出度的平方之和.
（这里,有向完全图是指以无向完全图为
底图的有向图）.

Answer 1

设图有n个顶点,并编号为1,2,...,n
设每个顶点的入度为ai,i为顶点编号
由于是完全图,所以每个顶点的入度和出度只和为(n-1)
所以每个顶点的出度为(n-1-ai)
若要所有顶点入度的平方之和等于所有顶点出度的平方之和
即是a1^2+a2^2+...+an^2=(n-1-a1)^2+(n-1-a2)^2+...+(n-1-an)^2
展开整理可得
2(n-1)(a1+a2+...+an)=n(n-1)^2
即是要求
a1+a2+...+an=n(n-1)/2
在有向完全图中,所以顶点的入度之和确实满足这个条件,所以结论成立
在任何有向完全图中,所有顶点入度的平方之和等于所有顶点出度的平方之和