已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N。（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为时，求k的值。

Question

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为 ，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N。
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为 时，求k的值。

Answer 1

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为 ，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N。
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为 时，求k的值。

（1）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 ，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为 ；
（2）直线y=k（x-1）与椭圆C联立 ，
消元可得（1+2k ² ）x ² -4k ² x+2k ² -4=0
设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），
则x ₁ +x ₂ = ，
∴|MN|= =
∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为
∴△AMN的面积S=
∴△AMN的面积为 ，
∴
∴k=±1。