已知：正方形ABCD，点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，且∠FCE=∠CBE．（1）如图1，当点E为CD边的中点时，求证：CF=2EF；（2）如图2，当点F位于线段AD的延长线上，求证：EFBE=DEDF．

Question

已知：正方形ABCD，点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，且∠FCE=∠CBE．
（1）如图1，当点E为CD边的中点时，求证：CF=2EF；
（2）如图2，当点F位于线段AD的延长线上，求证：(EF)/(BE)=(DE)/(DF)．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，
∵点E为CD边的中点，
∴CE=(1)/(2)CD=(1)/(2)BC，
∵∠FCD=∠CBE，∠F=∠F，
∴△FCE∽△FBC，
∴(EF)/(CF)=(CE)/(BC)，
又∵CE=(1)/(2)BC，
∴(EF)/(CF)=(1)/(2)．
即CF=2EF；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，
∵点F位于线段AD的延长线上，DE∥AB，
∴(EF)/(BE)=(DF)/(AD)，
又∵AD=CD，
∴(EF)/(BE)=(DF)/(CD)，①
∵AF∥BC，
∴∠DFE=∠CBE．
又∵∠DCF=∠CBE，
∴∠DFE=∠DCF，
又∵∠FDE=∠CDF，
∴△FDE∽△CDF，
∴(DE)/(DF)=(DF)/(CD)②，
由①②得，(EF)/(BE)=(DE)/(DF)．