设三角形ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,求证:O,G,H三点共线且HG=2OG

Question

设三角形ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,求证:O,G,H三点共线且HG=2OG

Answer 1

1）
（用平面向量的方法来证明,设O（0,0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,0）,G（（x1+x2+x3）/3,（y1+y2）/3）,点H坐标为（x0,y0）,
所需求证的命题转化为：向量OH与向量OG共线,其充要条件为
x0*(y1+y2)=y0*(x1+x2+x3) -------------------------------------①,
由于O为外心,故有x1*x1+y1*y1=x2*x2+y2*y2=x3*x3
故有(x2-x1)*(x2+x1)=(y2-y1)*(y2+y1),
代入①式化简得：（x1+x2）*(x0*(x2-x1)+y0*(y2-y1))=x3*y0*(y1-y2)----④
由AH垂直于BC,BH垂直于AC,数量积分别为0,得方程组：
（x0-x1）*(x3-x2)+(y0-y1)*(-y2)=0,-------------------------②
（x0-x2）*(x3-x1)+(y0-y2)*(-y1)=0,-------------------------③
③-②得：x0*(x2-x1)+y0*(y2-y1)=x3*(x2-x1)
带入④式化简得：x3*y0*(y1-y2）=x3*（x2-x1）*(x2+x1)
问题转化为证明y0=y1+y2
（2）
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点M.连结AM、CM、AH、CH、OH、OF.中线AF交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAM=∠BCM=90°
∴ AM⊥AB,MC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ MA‖CH,MC‖AH
∴ 四边形AMCH是平行四边形
∴ AH=MC
∵ F是BC的中点,O是BM的中点
∴ OF= 1/2MC
∴ OF= 1/2AH
∵ OF‖AH
∴ △OFG’ ∽△HAG’
∴AG’/FG’=AH/FO=2/1=G’H/OG’
∴ G’是△ABC的重心 (重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1)
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上,且GH=2OG