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如图.已知△ABC的垂心为H.外接圆⊙O,M为AB的中点.连接MH并延长交⊙O于D.求证:HD⊥CD.
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如图.已知△ABC的垂心为H.外接圆⊙O,M为AB的中点.连接MH并延长交⊙O于D.求证:HD⊥CD.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图.作⊙O直径CE.连接AE、BE、AH、BH.
∵BE⊥BC(直径所对的圆周角是90°),AH⊥BC(H是△ABC的垂心),
∴BE∥AH(垂直于同一条直线的两条直线平行),
同理,EA∥BH,
∴四边形AHBE是平行四边形,
∴EH与AB交点和M重合,
∴E、M、H、D四点共线,
∴∠D等于90°(直径所对角是90°),
即HD⊥CD.
∵BE⊥BC(直径所对的圆周角是90°),AH⊥BC(H是△ABC的垂心),
∴BE∥AH(垂直于同一条直线的两条直线平行),
同理,EA∥BH,
∴四边形AHBE是平行四边形,
∴EH与AB交点和M重合,
∴E、M、H、D四点共线,
∴∠D等于90°(直径所对角是90°),
即HD⊥CD.
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