已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是a36a36．

Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是

(a3)/(6)

(a3)/(6)

．

Answer 1

∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h（h＜a），则AO=√(a2−h2)，
于是有：AB=√(3(a2−h2))，记三棱锥S-ABC体积为f（h），
则f（h）=(√(3))/(4)(a2−h2)h，f^/（h）=(√(3))/(4)(a2−3h2)，
∴f_max（h）=f((√(3))/(3)a)=(a3)/(6)．
故答案为：(a3)/(6)