数学三角形与点若O是△ABC内一点,满足OA²+BC²=OB²+CA²=OC²+AB²,则点O是△ABC的（题目里的OA、BC之类的皆为向量）答案是垂心.怎么证明的?

Question

数学三角形与点
若O是△ABC内一点,满足OA²+BC²=OB²+CA²=OC²+AB²,则点O是△ABC的____
（题目里的OA、BC之类的皆为向量）
答案是垂心.怎么证明的?

Answer 1

垂心知道
OC*AB=0
OB*AC=0
OA*BC=0
只要证明以上结果就能说是垂心
OA+OB+OC=AB+BC+CA=0
OA-BC=OB-CA=OC-AB
平方
OA²+BC²-2OA*BC=OB²+CA²-2OB*CA=OC²+AB²-2OC*AB
即
OA*BC=OB*CA=OC*AB=0