如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G，（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（

Question

如图，直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA ₁ =2，D、E分别是CC ₁ 与A ₁ B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G，
（Ⅰ）求A ₁ B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A ₁ 到平面AED的距离。

Answer 1

（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影， 即∠EBG是A 1 B与平面ABD所成的角， 设F为AB的中点，连结EF、FC， ∵D，E分别是CC 1 与A 1 B的中点， 又DC⊥平面ABC， ∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心， ∴GE=DF， 在直角三角形EFD中， ， ∵EF=1，∴ ， 于是 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴A 1 B与平面ABD所成角是 。 （Ⅱ）连结A 1 D，有 ， ， 又EF∩AB=F， ∴ ， 设A 1 到平面AED的距离为h，则 ， 又 ， ∴ ， 即A 1 到平面AED的距离 。