在△ABC中，H为垂心，M为BC上的中点，AD为BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求证：HD+HM=MC．

Question

在△ABC中，H为垂心，M为BC上的中点，AD为BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求证：HD+HM=MC．

Answer 1

 连CH，
∵H为垂心，
∴CH⊥AB
又∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△CHD，
设AD=BC=1，BD=x，则CD=1-x，DM=(1)/(2)-x，
∵(AD)/(BD)=(CD)/(DH)，
(AD)/(x)=(BC−x)/(DH)，
∴DH=（1-x）x，
HM²=DH²+DM²=[（1-x）x]²+((1)/(2)−x)2
=[x(1−x)−(1)/(2)]2
∵AC＞AB，BD=x＜(1)/(2)
∴x（1-x）=x-x²=-(x−(1)/(2))2+(1)/(4)＜(1)/(4)，
∴HM=-x（1-x）+(1)/(2)
HD+HM=（1-x）x-x（1-x）+(1)/(2)=(1)/(2)=(BC)/(2)=CM，
∴HD+HM=CM．