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已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,SA=a,则此三棱锥体积最大值是()A.36a3B.23a3C.a33D.a36
题目详情
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,SA=a,则此三棱锥体积最大值是( )
A.
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B.
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▼优质解答
答案和解析
点A在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心,AD为BC边上的高
∴SA⊥BC,SC⊥AB.
设O为S在底面的射影,
则BC⊥面SAD,则O一定在AD上,
AB⊥SC,AB⊥SO,所以CO⊥AB,
所以O是底面ABC的垂心.也是外心,
∴SA=SB=SC=a.
则当SA,SB,SC互相垂直时体积最大
此时V=
×
•a•a•a=
故选D
∴SA⊥BC,SC⊥AB.
设O为S在底面的射影,
则BC⊥面SAD,则O一定在AD上,
AB⊥SC,AB⊥SO,所以CO⊥AB,
所以O是底面ABC的垂心.也是外心,
∴SA=SB=SC=a.
则当SA,SB,SC互相垂直时体积最大
此时V=
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故选D
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