已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（）A．36a3B．23a3C．a33D．a36

Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（　　）

A．(3)/(6)a 3
B．(2)/(3)a3
C．(a3)/(3)
D．(a3)/(6)

Answer 1

点A在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，AD为BC边上的高
∴SA⊥BC，SC⊥AB．
设O为S在底面的射影，
则BC⊥面SAD，则O一定在AD上，
AB⊥SC，AB⊥SO，所以CO⊥AB，
所以O是底面ABC的垂心．也是外心，
∴SA=SB=SC=a．
则当SA，SB，SC互相垂直时体积最大
此时V=(1)/(3)×(1)/(2)•a•a•a=(a3)/(6)
故选D