一个任意三角形ABC的垂心为H,三条垂线交AB于E,交AC于F,交BC于G,求证：HG平分角EGF

Question

一个任意三角形ABC的垂心为H,三条垂线交AB于E,交AC于F,交BC于G,求证：HG平分角EGF

Answer 1

证明：因为BF⊥AC,CE⊥AB
故：∠ABF＋∠BAC＝90度,∠ACE＋∠BAC＝90度
故：∠ABF＝∠ACE
因为BF⊥AC,AG⊥BC
故：A、B、G、F四点共圆（直径为AB）
故：∠ABF＝∠AGF（都是弧AF所对的圆周角）
因为CE⊥AB,AG⊥BC
故：A、C、G、E四点共圆（直径为AC）
故：∠ACE＝∠AGE（都是弧AE所对的圆周角）
故：∠AGF＝∠AGE
即：HG平分角EGF