三个超难几何问题之三,敬请专家们给予解答.已知锐角三角形ABC的垂心H,外接圆和内切圆半径分别为R和r.求证:AH+BH+CH=2(R+r).[注:通过测量,结论成立]

Question

三个超难几何问题之三,敬请专家们给予解答.已知锐角三角形ABC的垂心H,外接圆和内切圆半径分别为R和r.求证:AH+BH+CH=2(R+r).[注:通过测量,结论成立]

Answer 1

根据四点共圆有CH*hc=(a*cosC）*b,
又hc*c/2=S（S为三角形面积）
可得CH=(abc/(2S))*cosC=(abc/(2S))*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(c*a^2+c*b^2-c^3)/(4S)
类似可求得AH,BH
AH+BH+CH=(c(a^2+b^2-c^2)+b(a^2+c^2-b^2)+a(b^2+c^2-a^2))/(4S)
由r(a+b+c)/2=S,
求得2r=4S/(a+b+c)
由正弦定理2R=a/sinA,又bc*sinA/2=S
得2R=abc/(2S)
由海伦公式可得
(4S)^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(a+b+c)(c(a^2+b^2-c^2)+b(a^2+c^2-b^2)+a(b^2+c^2-a^2)-2abc)
2R+2r=((4S)^2+2abc*(a+b+c))/((a+b+c)*(4S))=AH+BH+CH